一次性弄懂拉普拉斯变换的原理！

zephem

分类：学习笔记

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引言

如果你有学习过《自动控制原理》，那你一定知道拉普拉斯变换，当问到拉普拉斯变换的原理是什么的时候，我想大多数人应该都不清楚，毕竟应试教育专注做题，你的老师大概率也不要求你弄明白它的原理，只要你会用，会做题就够了

刚接触拉普拉斯变换的时候，书本上给出的定义是：

$$ F(s) = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt $$

其中，$f(t)$ 称为原函数，$F(s)$ 称为象函数，变量 $s$ 为复变量，表示为

$$ s = \sigma + \text{j}\omega $$

因为 $F(s)$ 是复变量 $s$ 的函数，所以 $F(s)$ 是复变函数。

说实话，书上的这个公式以及定义当时带给我的震撼，不亚于我刚接触高等数学时的情景

看到这堆说明，我最大的疑惑就是

那个 $s$ 是什么？为什么是复数？为什么要放在指数上？为什么还要加一个负号？

这四连问几乎贯穿了我前半个学期，事实上也是直到今天我才弄明白

首先是关于复变量 $s$，它虽然看着很抽象，但实际上它就是我们高中学的复数（Complex Number）而已。你完全可以把它当成高中学的复平面向量来看

其中的 $\sigma$ 是实部（Real Part），代表实数轴；而右边的 $j\omega$ 是虚部（Imaginary Part），代表虚数轴

但在控制理论里，数学家引入复数并不是为了故弄玄虚，而是因为复数天生就是描述‘旋转’和‘缩放’的神器

这里你需要知道一个前提，那就是世界上的运动属性大致可以分为两类

第一类就是增长\衰减

第二类就是震荡\旋转

如果你不信的话，你可以观察身边的一些基本运动，例如玩具小车在地面上行驶，一个弹簧来回摆动，接着再画出它们速度/时间的函数图像，你就会发现他们至少包含了这两类运动属性的一类，但大部分同时包含了这两类运动属性

而 $e^{-st}$ 同时包含了增长衰减和震荡旋转，是绝佳的信息承载函数，也是后面可以用它来进行过滤的主要原理

至于这个函数为什么可以同时包含增长衰减和旋转震荡？要把 $e^{-st}$ 拆开来看：

$$ e^{st} = e^{(\sigma + j\omega)t} = e^{\sigma t} \cdot e^{j\omega t} $$

发现了吗？它被拆成了两部分相乘：

第一部分 $e^{\sigma t}$（实部）：负责“增长”或“衰减”。
- 这是一个实数指数函数。
- 如果 $\sigma < 0$（负数）：$e^{\text{负数} \cdot t}$ 会随着时间 $t$ 增加而越来越小，趋向于 0。这就是衰减（收敛）。
- 如果 $\sigma > 0$（正数）：$e^{\text{正数} \cdot t}$ 会越来越大。这就是增长（发散）。
- 如果 $\sigma = 0$：$e^0 = 1$，既不增也不减。
第二部分 $e^{j\omega t}$（虚部）：负责“旋转”或“震荡”。
- 这里用到欧拉公式：$e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t)$。
- 这代表在单位圆上的旋转，或者投影到时间轴上的正弦/余弦波震荡。
- $\omega$ 越大，转得越快，震荡频率越高。

时间的“筛子”

这时候你可能会问就算我知道了 $e^{st}$ 同时包含了增长衰减和震荡旋转，可它又有什么用呢？

其实，拉氏变换的本质是一个“筛子”

而作为一个筛子，最基本的功能就是要筛出我们想要的东西

我们刚刚说过 $e^{st}$ 包含了增长衰减和震荡旋转，是自然界最基本的运动单元，而原函数 $f(t)$ 就像是一锅大杂烩汤，里面混合了各种频率、各种衰减率的成分

可是要怎么把特定的成分挑出来呢？原理是什么呢？

在讲函数之前，先回顾一下高中物理或数学里的向量点积（内积）

原理

假设在二维平面上有两个向量

向量 $\vec{A} = (1, 0)$ （这是指向东方的单位向量，相当于探测器）
向量 $\vec{B} = (0, 5)$ （这是指向北方的物体）

我们做点积（对应位相乘再相加）：

$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = 1\times0 + 0\times5 = 0 $$

结果是 0，为什么？

因为东方和北方是垂直的（正交的），你在东方这个方向上，探测不到北方的分量

但如果向量 $\vec{C} = (3, 4)$ （指向东北方）

再用 $\vec{A}$ 去测：

$$ \vec{A} \cdot \vec{C} = 1\times3 + 0\times4 = 3 $$

结果不为 0！这意味着 $\vec{C}$ 里面含有 3 个单位的东方分量

那么说了半天向量和拉式变换的筛选有什么关系呢？先别急下面才是正菜

函数其实就是无限维的向量（每个时间点t对应一个维度），而积分 $\int f(t)g(t)dt$ 就是连续版本的点积（把每一时刻的值乘起来，再加在一起）

假设原函数 $f(t) = \sin(3t)$

我们拿 $\sin(2t)$ 去乘它，然后积分（比如在一个周期内）
$$ \int \sin(3t) \cdot \sin(2t) \, dt $$

因为 $\sin(3t)$ 和 $\sin(2t)$ 相乘有时候为正，有时候一正一负，因为它们步调不一致，画出图像来，x轴上方的面积和x轴下方的面积刚好完全抵消

对它们做积分的结果也显而易见：0

换句话来说，也就是 $\sin(3t)$ 里面不包含 2Hz 的频率

但当你拿 $\sin(3t)$ 去乘并积分

$$ \int \sin(3t) \cdot \sin(3t) \, dt = \int (\sin(3t))^2 \, dt $$

很显然，积分后的函数图像是发散的（积分发散，结果趋于无穷大），虽然图像看着不明显，但是可以通过简单的数学推导来证明 ->证明

当积分结果为无穷大时，这也就意味着我们的探针 $\sin(3t)$ 和原函数中的某一成分（$\sin(3t)$）完全同步了，也就是里面含有 3Hz 的频率！

到了这里，肯定也会有聪明的人要问了：这和拉氏变换的 $e^{-st}$ 有什么关系？以及 $e^{-st}$ 上为什么会有个负号？

还记得之前所说的吗？ $e^{-st}$ 同时包含了两类运动属性，结合我们刚刚说的内积机制，是用来做探针（筛子）的绝佳函数，至于为什么要加上一个负号，这就涉及到了复数的一个特性

在实数向量里，点积是 $A \cdot B$

但在复数向量里，定义点积必须用共轭（Conjugate）：

$$ \langle A, B \rangle = A \cdot \bar{B} $$

（$\bar{B}$ 就是把虚部的符号反过来）。

为什么？

因为在复数里，只有自己乘以自己的共轭，才能得到模长的平方（实数）：

$$ z \cdot \bar{z} = |z|^2 $$

比如 $e^{j\omega t} \cdot e^{-j\omega t} = 1$

如果不用负号（共轭）：

$e^{j\omega t} \cdot e^{j\omega t} = e^{j2\omega t}$（角频率变为2ω，并没有改变函数的大小）

结合我们刚刚说的，将探针 $e^{-st}$ 与要探测的目标函数相乘（内积）再积分后的结果就可以判断它是否含有某一个特定成分

至此，我们几乎已经讲完了拉氏变换最核心的筛选原理了

来简单总结一下筛选的流程

你想知道 $f(t)$ 里面有没有某个特定的“增长震荡模式”（比如 $s = -2 + j3$），利用正交性（或者说做内积）将探针 $e^{-st}$ 与 $f(t)$ 相乘再积分（求和）

$$ \int f(t) \cdot e^{-st} \, dt $$

如果积分结果很大，说明 $f(t)$ 里富含这种 $s$ 模式的成分

如果结果很小或为 0，说明 $f(t)$ 跟这个 $s$ 没关系

为了更加直观的感受这一过程，我写了一个小工具

在这个演示中有三个关键点：

探针 ($e^{-st}$)：那个带负号的指数项，其实是我们手中的“探针”

筛选机制：

如果原信号是 $e^{2t}$（向右增长），我就用 $e^{-2t}$（向左衰减）的探针去乘它。两者抵消变成常数 1，积分结果瞬间无穷大（爆炸）
这就是极点！极点就是那个能让积分“爆炸”的 $s$ 值

为什么 $\sigma < 0$ 也是无穷大？：演示中我也展示了，如果探针自己发散（$\sigma < 0$），积分也会爆炸，但这属于“发散区”，而不是我们要找的“特征指纹”

真正的极点不是单纯的无穷大，而是收敛与发散的边界

拉氏变换实际上就在 S 平面上拿着筛子到处试，哪里积分爆炸了（极点就是使分母为零的s值，此时F(s)趋于无穷大），哪里就是信号的特征（极点）

S 平面到底是什么

看到下面这张图，我想你大概率不会感到陌生，你的老师上课是大概率会这么跟你说，s平面中的叉是极点，圆圈是零点

我知道你大概率肯定是一脸懵，但你先别着急退出，要理解s平面，我们先从最基本的属性来看

首先它看上去就像是我们平时见到的二维函数坐标轴一样，只不过它并不是拿来显示函数图像的，它的功能更像是一个地图

S 平面上的一个点（比如 $s = -1.8 + j2.0$），其实是选定了一种运动模式，这种模式的衰减速度是 -1.8（实轴），震荡频率是 2.0（虚轴）

和我们平时见到的坐标轴相比，x轴变成了 $\sigma$（实轴），y轴变成 $j\omega$（虚轴）

还记得我之前讲过的复数概念吗？这个所谓的 S 平面，实际上就是复平面（Complex Plane）。它和高中学习复数时画的坐标系几乎没有任何区别，硬要说的话，唯一的区别就是把坐标轴的字母赋予了物理意义

X轴（$\sigma$ 轴）：实轴。向左走代表衰减（越稳），向右走代表发散（不稳定）
Y轴（$j\omega$ 轴）：虚轴。向上或向下走代表震荡得越快
原点：既不衰减也不震荡（直流常数）

极点是无穷大，但在二维面上，它只是一个平平无奇的红叉

如果你从侧面看去，它其实是一座拔地而起的、无限高的山峰。而拉氏变换的模值，就是这里的海拔高度

左侧（课本视角）：这是我们在书上看到的二维极零图
右侧（上帝视角）：这是真实的复频域幅值 $|F(s)|$

旋转模型，你就可以直观的体会到所谓的零点和极点究竟是什么了

极点 (Pole)：就像是一个无限高的山峰
零点 (Zero)：塌陷下去的深坑

学这玩意到底有啥用

如果你已经弄明白了拉氏变换的原理，那么到头来肯定还是会回到那个最初的问题：这玩意儿有啥用？

算出了极点 $s = -1 + 2j$，那又怎样？

对于这个问题，我用一个非常经典的弹簧滑块模型的运动演示来告诉你

这是一个实时的“弹簧-质量-阻尼”系统仿真。左边是 S 平面控制器和示波器（说简单点就是滑块关于时间与位移的函数图像），右边是模型

实轴 ($\sigma$) = 能量控制（阻尼器）

把极点往左拖：阻尼变大，像在蜂蜜里搅动，滑块迅速停下（系统稳定）
把极点往右拖：越过虚轴红线，进入右半平面。此时阻尼变成负值（能量源），滑块疯狂加速，直至系统崩溃（不稳定）
虚轴 ($j\omega$) = 频率控制（弹簧）
把极点往上/下拖：远离实轴，弹簧变硬，滑块震动频率变快（嗡嗡响）
贴近实轴：震荡消失，变成单纯的指数运动（过阻尼）。